Пам'ятаєте байку про інтеграл, який став у нагоді в житті? Так от, у визначника теж є чудове застосування - лякати дітей формулою Лейбніца. А давайте навіть перепишемо її куди-небудь в середину, щоб всім було добре видно.
Розшифровується ця справа наступним чином: якщо у нас є матриця
над деяким полем, то визначником цієї матриці називають суму всіляких творів, що складаються ізелементів цієї матриці, взятих по одному з кожного рядка і з кожного стовпчика, причому кожен твір входить в цю суму з тим знаком, який має відповідна перестановка індексів цих елементів у цьому творі.
Виникає природне питання: навіщо потрібна така наворочена конструкція. Можна звичайно сказати, що сенс проявиться пізніше, поки просто запам'ятайте і не ставте зайві питання і т. д., але якщо бути відвертим, то варто визнати - таке визначення визначника не мотивоване нічим. А між іншим саме воно є найбільш загальновідомим.
Інший спосіб введення визначника пов'язаний з його характеристичною властивістю. Нагадаємо, півілінійною формою називається функція, визначена на декартовому творі деяких векторних просторів (заданих над одним і тим же полем), що приймає значення в полі і лінійна за кожним аргументом: . Форма називається кососиметричною, якщо при інверсії будь-яких двох (не обов'язково сусідніх) аргументів вона змінює знак.
З кососиметричністю є одна невелика проблема. Візьмемо для визначеності звичайне поле дійсних чисел і розглянемо якусь - місцеву кососиметричну формунад ним. Подивимося, чому може бути одно, тобто чому може дорівнювати ця форма на наборі векторів, що містить 2 рівні вектори. При інверсії цих двох векторів форма з одного боку не змінюється, а з іншого боку, змінює знак. Єдине дійсне число, яке не змінюється при зміні знака - це нуль. Задамося тепер питанням, а чи буде справедливою ця властивість (рівність форми нулю на наборі, що містить пару рівних векторів) у разі довільного поля. Якщо, то, отже. Оскільки в полях немає ділителів нуля, то в разі поля характеристики 2 отримуємо, що. Але що буде у випадку, якщо характеристика дорівнює 2? А буде те, що з рівності не випливає, що. Насправді, візьмемо поле вирахувань за додатком 2 (2 просте число, так що це дійсно поле, а не просто кільце). У цьому полі одиниця зворотна сама собі (т. к.), тобто. Разом з цим одиниця, очевидно, не дорівнює нулю (ця властивість виконується в будь-якому полі поряд з тим фактом, що в будь-якому ж полі завжди існують нуль і одиниця; вимога нетривіальності кільця входить до визначення поля). Попередні міркування показують, що з «» наївної «» кососиметричності (визначення якої написано вище) у разі поля характеристики 2 ще не витікає рівність нулю відповідної форми на наборі, що містить рівні вектори.
Можна звичайно всюди далі розглядати виключно поля характеристики 2 і користуватися «» слабким «» визначенням кососиметричності, а можна вчинити розумніше і трохи посилити визначення кососиметричності спеціально для полів характеристики 2 так, щоб звичайна кососиметричність слідувала з «» сильної «». Для цього достатньо вимагати 2 речі: по-перше, форма повинна бути полілінейна, а по-друге вона повинна приймати значення нуль завжди, коли серед її аргументів є рівні. Властивість, яка випливала з «» наївної «» кососиметричності для полів характеристики 2 сама тепер є складовою частиною визначення кососиметричності (правда тільки для полів характеристики 2).
Доказ
З півілінійності та рівності форми нуля на рядках з рівними аргументами випливає, що якщо до одного вектора додати інший, помножений на число, то значення форми не зміниться. При множенні будь-якого вектора на число 0 сама форма множиться на це число (зокрема, якщо звернути знак будь-якого вектора з набору, то знак самої форми теж зміниться.
Інвертувати вектори можна за допомогою перетворень цих двох типів. І якщо уважно простежити ланцюжок перетворень, то врешті-решт виявиться, що форма змінила знак.
Далі під кососиметричністю будемо розуміти кососиметричність в «» сильному «» сенсі.
Визначення
Визначник матриці - це єдина кососиметрична півілінійна форма рядків матриці, нормована одиницею на одиничному наборі векторів.
Треба сказати, це не найгірше визначення. Але і воно не позбавлене недоліків. Основні питання тут виникають з приводу кососиметричності. В першу чергу незрозуміло, чому ця властивість взагалі важлива. Ну змінює функція знак при перестановці двох аргументів і нехай змінює, чому ми так прагнемо дослідити саме цю властивість, а не якусь іншу. Але тут все ще гірше. Ми хочемо, щоб форма ще й приймала нульове значення на наборі, що містить рівні вектори. І в деякому сенсі для нас це навіть важливіше самої кососиметричності, раз ми стали підганяти визначення останньої під виконання цієї властивості. Всі ці екзерсизи з характеристиками виглядають досить штучно.
Критикуєш - пропонуй
Насправді є дуже простий і природний нехай побудови визначника, при якому всі ці питання відпадають самі собою. І я постараюся по можливості максимально послідовно описати цей спосіб.
Почнемо з деяких попередніх зауважень. Основним об'єктом вивчення лінійної алгебри є кінцевомірні векторні простори. Неформально кажучи, на будь-який - мірний векторний простір над полемможно дивитися як на «» координатний «» простір, що складається з упорядкованих наборів довжини елементів поля. Більш суворо, нехай у нас є мірний векторний простір над полем. Вибір (впорядкованого) базису цього простору індукує ізоморфізм, що відповідає кожному вектору набір його координат у базисі. Таким чином, у всіх подальших побудовах мова піде здебільшого про вектора координатного простору.
Очевидно, деякий набір векторів простору є лінійно (не) залежним, тоді і тільки тоді, коли відповідний йому набір векторів простору буде лінійно (не) залежним.
Властивість лінійної залежності/незалежності дійсно дуже важлива. Справа в тому, що система з 1 «» alt = «» n > 1 «» src = «» https:/ /habrastorage.org/getpro/habr/upload_files/4e1/89f/e1d/4e189fe1dc9b6260122146ddfd0031b7.svg"">векторов простору буде лінійно залежною тоді і тільки тоді, коли знайдеться вектор у цій системі, який можна лінійно виразити через інші.
Досить природним виглядає бажання мати деяку функцію - індикатор лінійної залежності векторів. Враховуючи, що будь-який векторний простір "оцифровується" "своїм координатним простором, достатньо мати таку функцію, визначену на декартовому виробництві простору приймаючу значення в полі. Таким чином, ми пред'являємо до функціонного лише 2 дуже природні вимоги:
- Полілінійність.
- Вона повинна приймати нульове значення на будь-якій лінійно залежній системі векторів.
На аргументи цієї функції зручно дивитися як на рядки матриці
Зауважимо, на даному етапі ми ще навіть не знаємо, чи існує така функція чи ні. Але ми можемо в припущенні її існування подивитися на її поведінку.
- . Дійсно, рядок аргументів, що містить пару рівних значень, очевидно, лінійно залежний, а значить функціябуде приймати на ньому нульове значення.
- кососиметрична (в будь-якому сенсі, враховуючи полілінійність + п.1). Доказ абсолютно аналогічний тому, який знаходиться вище під спойлером.
- Розгляньмо, чому рівняна деякому наборі рядків:
Тут ми просто висловили вектори через поодинокі, потім за півілінійності отримали суму за всіма впорядкованими наборами відповідних творів, викинули з них ті, які містять повторювані аргументи (тим самим отримавши суму за всіма перестановками), а потім застосували зворотні перестановки до одиничних векторів.
Дивимося на останню сходинку в формулі і бачимо множник. Щоб спростити формулу і не тягати зайвий множник, додамо до тих 2 вимог до функціїтретьє вимога: .
Таким чином, якщо цікавить нас функціонує, то вона має вигляд:
Намалювалася знайома нам формула Лейбніца. Найпрекрасніше те, що в ній немає вільних змінних, а це означає, що ми безкоштовно отримали єдність функції, що нас цікавить.
Залишилося лише довести існування. Капітан натякає, що для цього достатньо взяти ту функцію, яка у нас вийшла.
А далі справа техніки. Перевіряємо, що отримали ми дійсно, що хотіли і навіть більше. Отриману функцію називаємо визначником і спокійно приступаємо до доказу основних його властивостей.
